les trous noirs et la dilatation temporelle — fonctions et limites

la menace de P3W-451

Dans la salle de contrôle du SGC, l'alarme d'urgence retentit. La porte s'est connectée à la planète P3W-451, mais l'équipe SG-10 ne donne plus aucun signe de vie.

En envoyant une sonde de reconnaissance, Samantha Carter découvre l'impensable : la planète est en train d'être aspirée par un trou noir en formation.

La Porte des Étoiles connectée à P3W-451 près du trou noir

À cause du champ gravitationnel extrême, le temps subit une dilatation temporelle relativiste massive. Pire encore : le vortex maintenu ouvert transmet cette déformation temporelle à travers la Porte jusqu'au SGC !

Mon Général, plus l'équipe SG-10 s'approche de l'horizon des événements du trou noir, plus leur temps s'écoule lentement par rapport au nôtre. Pour eux, quelques secondes s'écoulent... alors que pour nous, ce sont des heures qui passent !

modélisation de la dilatation temporelle

Selon la théorie de la relativité générale d'Einstein, le facteur de dilatation temporelle $\gamma(r)$ dépend de la distance $r$ séparant la Porte des Étoiles du centre du trou noir de rayon de Schwarzschild $R_s$ :

$t_{\text{Terre}}(r) = \frac{t_{\text{Porte}}}{\sqrt{1 - \frac{R_s}{r}}}$

Où :

$t_{\text{Porte}}$ est le temps propre mesuré par une montre sur P3W-451 (en secondes).
$t_{\text{Terre}}$ est le temps mesuré dans la salle de contrôle du SGC (en secondes).
$r$ est la distance au centre du trou noir.
$R_s$ est le rayon de l'horizon des événements (la limite de non-retour).

On définit la fonction $f$ pour un intervalle de temps propre fixe de 1 seconde sur la planète ( $t_{\text{Porte}} = 1$ ) par :

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$

où $x = \frac{R_s}{r}$ représente le ratio d'approche de l'horizon des événements (avec $0 \le x < 1$ ).

votre mission

Calculez l'image de $x = 0$ (très loin du trou noir, gravité négligeable). Qu'en concluez-vous sur l'écoulement du temps ?
Calculez la valeur de $f(0,99)$ et $f(0,9999)$ .
Déterminez la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures ( $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ).
Quelle est l'interprétation géométrique de ce résultat sur la courbe représentative de la fonction $f$ ?

la soluce de Samantha Carter

Analyse de la fonction de dilatation temporelle :

Cas $x = 0$ (Loin de la gravité) : $f(0) = \frac{1}{\sqrt{1 - 0}} = 1$ Loin du trou noir, $1 \text{ seconde sur P3W-451} = 1 \text{ seconde sur Terre}$ . Le temps s'écoule exactement au même rythme.
Évaluation aux approches de l'horizon :
Pour $x = 0,99$ : $f(0,99) = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,99}} = \frac{1}{\sqrt{0,01}} = \frac{1}{0,1} = \mathbf{10 \text{ secondes sur Terre}}$
Pour $x = 0,9999$ : $f(0,9999) = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9999}} = \frac{1}{\sqrt{0,0001}} = \frac{1}{0,01} = \mathbf{100 \text{ secondes sur Terre}}$
Calcul de la limite : Lorsque $x \to 1^-$ , $(1 - x) \to 0^+$ , donc $\sqrt{1 - x} \to 0^+$ . $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{X \to 0^+} \frac{1}{X} = \mathbf{+\infty}$
Interprétation géométrique : La courbe représentative de la fonction $f$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 1$ .

le calvaire de SG-10 et l'asymptote de l'horizon

Le Dr Daniel Jackson observe les images transmises par la sonde avant que le signal ne coupe.

Sur l'écran, le Capitaine Boyd et son équipe semblent figés dans une pose héroïque. Ils essaient d'atteindre la Porte, mais ils ne bougent quasiment plus ! Est-ce qu'ils sont morts ?

Non, Daniel. Ils sont vivants, mais on est en train de voir des hommes mourir au ralenti. Du point de vue extérieur, leur temps s'arrête presque à mesure qu'ils approchent de cette saleté d'horizon !

votre mission

En utilisant la limite trouvée précédemment, expliquez pourquoi, du point de vue du SGC, l'équipe SG-10 mettrait un temps infini à franchir la ligne d'horizon du trou noir.
Si le SGC attend 1 an terrestre ( $31\ 557\ 600 \text{ secondes}$ ), quelle valeur du ratio $x$ l'équipe SG-10 aura-t-elle atteinte pour que $1 \text{ seconde}$ sur P3W-451 corresponde à 1 an sur Terre ?

la soluce de Samantha Carter

Explication physique du temps infini : Puisque $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ , plus $x$ se rapproche de $1$ (l'horizon des événements), plus une seule seconde vécue par SG-10 correspond à un nombre d'années astronomique sur Terre. Du point de vue extérieur, SG-10 semble figé à jamais sur l'asymptote $x = 1$ sans jamais la traverser.
Calcul de la proximité $x$ pour 1 an terrestre : On cherche $x$ tel que $f(x) = 31\ 557\ 600$ : $\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = 31\ 557\ 600$ $\sqrt{1 - x} = \frac{1}{31\ 557\ 600} \approx 3,1688 \times 10^{-8}$ $1 - x = (3,1688 \times 10^{-8})^2 \approx 1,004 \times 10^{-15}$ $x = 1 - 1,004 \times 10^{-15} = \mathbf{0,999999999999998996}$

Pour que 1 seconde sur la planète dure 1 an sur Terre, SG-10 doit se trouver à un cheveu de l'horizon des événements !

neutralisation et fermeture du vortex

Le Général Hammond fait face à une crise majeure : la gravité du trou noir s'infiltre par la Porte et commence à déformer le temps au niveau du SGC. Les horloges de la base retardent de plusieurs minutes par heure par rapport à la surface extérieure.

Major Carter, si nous ne coupons pas cette connexion, le gradient de gravité va s'étendre et détruire toute la montagne de Cheyenne Mountain ! Il nous faut un plan, et vite.

Pour rompre le vortex, O'Neill et Carter proposent de déclencher une charge explosive profilée près de la Porte pour surcharger le champ gravitationnel et forcer le saut de la connexion vers une autre planète.

Si la distorsion temporelle au SGC est modélisée au cours des heures $t$ (en heures terrestres) par la fonction de croissance exponentielle :

$D(t) = 1,05^t$

votre mission

Quel est le pourcentage d'augmentation de la dilatation temporelle chaque heure au SGC ?
Au bout de combien d'heures la distorsion temporelle aura-t-elle doublé ( $D(t) = 2$ ) ? Résolvez cette équation avec le logarithme.

la soluce de Samantha Carter

Taux d'augmentation horaire : La base est $1,05 = 1 + 0,05$ . La distorsion temporelle augmente donc de 5 % par heure au SGC.
Temps de doublement (Temps de demi-vie / Seuil) : On cherche $t$ tel que : $1,05^t = 2$ $\ln(1,05^t) = \ln(2)$ $t \times \ln(1,05) = \ln(2)$ $t = \frac{\ln(2)}{\ln(1,05)} \approx \frac{0,693147}{0,048790} \approx \mathbf{14,2 \text{ heures}}$

Le SGC dispose de 14 heures et 12 minutes avant que la distorsion temporelle sur Terre ne double et ne rende toute action d'auto-destruction ou d'évacuation impossible !