les Réplicateurs — étude des suites et croissance exponentielle

la menace des blocs autoréplicatifs

Dans les couloirs du SGC, les alarmes retentissent. Un vaisseau de reconnaissance Asgard vient de s'écraser dans l'océan Pacifique. À son bord : des Réplicateurs, une forme de vie artificielle mécanique composée de blocs modulaires capables d'absorber toute matière pour se multiplier de manière incontrôlée.

Samantha Carter et le Dr Rodney McKay sont réquisitionnés d'urgence en salle de crise pour évaluer la vitesse de propagation de la menace avant d'envoyer l'équipe SG-1.

Chaque bloc réplicateur utilise l'énergie ambiante pour fabriquer des répliques exactes de lui-même. Si nous ne stoppons pas le processus dès la première minute, la progression géométrique va submerger la planète entière.

modélisation de la prolifération

Supposons qu'au départ ($n = 0$), un unique bloc réplicateur commence à s'assembler dans les débris du vaisseau.

À chaque cycle de réplication ($n$), chaque réplicateur consomme les métaux environnants et se duplique en créant 2 nouveaux réplicateurs identiques (chaque unité donne donc naissance à 2 nouvelles unités, portant le total du groupe à $3$ fois sa taille initiale à chaque étape).

votre mission

1. Déterminez le nombre de réplicateurs présents aux cycles $n = 1$, $n = 2$ et $n = 3$.
2. Donnez la nature de la suite $(u_n)$ représentant le nombre de réplicateurs au cycle $n$, en précisant son premier terme $u_0$ et sa raison $q$.
3. Exprimez $u_n$ en fonction de $n$.
4. Calculez le nombre de réplicateurs au bout de 10 cycles.