la Porte des Étoiles — combinatoire et dénombrement

le calcul des coordonnées de la Voie Lactée

Dans la salle de contrôle du SGC, le Capitaine Samantha Carter récapitule le fonctionnement du réseau pour les nouvelles recrues :

Pour établir une connexion, l'ordinateur de composition doit verrouiller 7 chevrons. Les 6 premiers symboles représentent des constellations uniques qui définissent 3 lignes d'intersection dans l'espace tridimensionnel. Le 7ᵉ chevron est toujours le point d'origine de la planète de départ.

La couronne de la Porte des Étoiles de la Voie Lactée comporte 39 symboles au total (38 constellations + 1 point d'origine local).

Pour calculer le nombre d'adresses spatiales uniques à 6 symboles, nous devons prendre en compte deux contraintes physiques majeures du réseau des Anciens :

Sans répétition : Un symbole de constellation ne peut pas être utilisé deux fois dans la même adresse.
L'ordre compte : L'ordre de verrouillage des chevrons détermine les axes de triangulation. L'adresse $(A, B, C, D, E, F)$ ne mène pas au même point de la galaxie que $(B, A, C, D, E, F)$ .

votre mission : calculer le nombre théorique d'adresses

Calculez le nombre total d'adresses spatiales à 6 symboles qu'il est possible de composer dans la Voie Lactée.

la soluce de Samantha Carter

Il s'agit d'un calcul d'arrangements sans répétition de 6 symboles choisis parmi les 38 constellations disponibles (le 39ᵉ symbole étant réservé au point d'origine final) :

$A_{38}^6 = \frac{38!}{(38-6)!} = 38 \times 37 \times 36 \times 35 \times 34 \times 33$

$A_{38}^6 = 1\ 987\ 690\ 320 \text{ possibilités}$

Il existe donc presque 2 milliards d'adresses théoriques ( $1,987 \times 10^9$ ) traçables dans l'espace de notre galaxie.

proba de tomber sur un monde habité « au hasard »

Le Dr Daniel Jackson intervient alors :

D'après les données extraites de la cartouche d'Abydos et nos reconnaissances, nous estimons que les Anciens n'ont pas placé une Porte sur chaque point virtuel de l'espace. Le réseau de la Voie Lactée compte environ 10 000 Portes des Étoiles actives ou abandonnées.

Si un Goa'uld ou un pirate spatial s'amusait à composer 6 chevrons au hasard sur le DHD (Dial Home Device) sans passer par l'ordinateur de navigation du SGC, quelle serait sa chance de tomber sur une vraie planète ?

votre mission : évaluer la roulette galactique

En supposant que chacune des 10 000 Portes des Étoiles possède une adresse unique à 6 symboles, calculez la probabilité de composer une adresse valide du premier coup en saisissant 6 symboles aléatoires.

la soluce de Samantha Carter

C'est une application directe du calcul de probabilité sur un univers équiprobable $P(E) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ :

$P(\text{Connexion}) = \frac{10\ 000}{A_{38}^6} = \frac{10\ 000}{1\ 987\ 690\ 320} = \frac{125}{24\ 846\ 129}$

En pourcentage :

$P(\text{Connexion}) \approx 0,000503 \% = 5,03 \times 10^{-6}$

Conclusion tactique : Vous avez environ 1 chance sur 198 769 d'ouvrir un vortex vers une vraie planète en composant au hasard !

Autrement dit, tenter sa chance à l'aveugle sans journal de bord ni cartouche de navigation est le meilleur moyen de bloquer la Porte indéfiniment ou d'épuiser l'énergie du DHD avant d'avoir trouvé qui que ce soit. C'est exactement pour cela qu'un système d'adressage strict était indispensable aux Anciens !

l'effet O'Neill : la mise à jour du SGC

Quelques semaines plus tard, suite à un incident dans un dépôt des Anciens, le cerveau du Colonel Jack O'Neill a absorbé l'intégralité de la base de données des Bâtisseurs (l'Idunn).

En construisant un générateur à super-luminosité dans son garage, Jack a intégré aux ordinateurs du SGC une mise à jour massive : les coordonnées de milliers de nouvelles planètes situées bien au-delà de notre base de données initiale, portant le nombre total de adresses de portes connues et répertoriées dans les nouveaux serveurs du SGC à 250 000 Portes des Étoiles à travers la galaxie.

votre mission : recalculer la probabilité avec la base étendue

Avec cette immense base de données d'adresses valides désormais enregistrées par le SGC grâce à Jack, calculez la nouvelle probabilité de se connecter à une planète active en tapant 6 symboles au hasard sur une Porte. Exprimez le résultat sous forme de pourcentage.

la soluce de Samantha Carter

C'est simple, on prend le nouveau nombre de portes répertoriées et on divise par le nombre total de combinaisons possibles :

$P_{new} = \frac{250\ 000}{A_{38}^6} = \frac{250\ 000}{1\ 987\ 690\ 320} = \frac{625}{4\ 969\ 225\ 800} \approx \frac{1}{7\ 951}$

En pourcentage :

$P_{new} \approx 0,0126 \% = 1,26 \times 10^{-2}$

Bilan : Grâce au téléchargement de Jack, la probabilité de tomber sur une adresse valide au hasard a été multipliée par 25 ! On passe de 1 chance sur près de 200 000 à environ 1 chance sur 7 951. Bon, ça reste une sacrée loterie, mais c'est nettement mieux pour nos équipes d'exploration !